Bir a tamsayısı, bir de p asal sayısı alalım, bir de a sayısı p’nin katı olmasın. Öyleyse Fermat’ın Küçük Teoremi’ne göre: a üzeri (p-1)’i, p’ye bölersek kalan her zaman 1 olur. Yani bölme tahtamıza bahsettiğimiz sayıları yerleştirirsek her zaman yukarıdaki şekli alır. İki tane de örnek verelim;
Bu paragraf modüler aritmetik bilmeyenler için. Bu örnekleri çoğaltabilirsiniz. Ancak sizinle yolumuz burada ayrılıyor, kusura bakmayın, size hayatta başarılar diliyoruz, iyi bakın kendinize.
Biz modüler aritmetik bilenler, teoremi şu alışık olduğumuz şekilde de ifade edebiliriz:
Görüldüğü gibi a sayısı p’nin yani 5’in katı olmadığı sürece 𝑎 üzeri (𝑝−1) sayısı (mod5)’te hep 1’e eşit. Başka p değerleri için de deneyebilirsiniz. Teoremin ne dediğini iyice anladıysak örnek vermekten çıkıp ispatı üzerinde düşünmeye başlayalım. Yani artık a=a ve p=p olsun. Tabi bir de a, p’nin katı olmasın. İspat buraya yazabileceğimiz kadar kısa :)))) a’nın (p-1)’e kadar olan katlarını yazalım; 1 ∙ 𝑎, 2 ∙ 𝑎, 3 ∙ 𝑎, 4 ∙ 𝑎, …, (𝑝 − 1) ∙ 𝑎 Bu sayıların hiçbiri (modp)’de denk değildir. Yani hiçbirinin p’ye bölümünden kalan eşit değildir. Çünkü neden? Diyelim ki bu sayılardan iki tanesi (modp)’de denk olsun ve bu sayılar x∙a ile y∙a katları olsun. O zaman şöyle yazabilmemiz gerekli; 𝑥 ∙ 𝑎 ≡ 𝑦 ∙ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑𝑝) Biz modüler aritmetik bilenler bunun anlamının 𝑥 ≡ 𝑦 (𝑚𝑜𝑑𝑝) olduğunu biliyoruz. Yalnız bir sayının kendisinden büyük sayılara bölümünden kalanın o sayıya eşit olması gerektiğini de biliyoruz. (Örneğin 7'yi 10'a bölerseniz kalan 7 olur.) Yani x ile y (modp)’de denk ise x ile y aynı sayı olmak zorunda. O halde en son yazdığım denklemin x ile y farklı sayılarken doğru olması mümkün değil. Yani a’nın (p-1)’e kadar olan katlarından herhangi ikisi (modp)’de birbirlerine denk olamaz. Ayrıca p asalı burada ne a’yı ne de kendisinden küçük olan sayıları bölemeyeceği için a’nın (p-1)’e kadar olan katlarının hiçbirini bölemez. Bu sayıların p’ye bölümünden kalanlar da 1,2,3,…,(p-1)’e kadar olan sayılar olmalıdır. Daha açık olması için, önceki sayfayı örneklendirelim. En baştaki a=8, p=5 örneği için a’nın (p-1)’e yani 8’in 4’e kadar olan katları; 1∙8, 2∙8, 3∙8, 4∙8 olur ve bu sayılar hem 5’e bölünmez hem de 5’e bölümlerinden kalanlar sırasıyla 3, 1, 4, 2’dir. Sırasız olarak yazarsak kalanların 1,2,3,4 yani 1’den (p-1) kadar olan sayılar olduğunu da görürüz. Dolayısıyla a’nın (p-1)’e kadarki katlarının çarpımının p’ye bölümünden kalan, 1∙2∙3∙…∙(p-1) çarpımının p’ye bölümünden kalana denk olmalıdır. Ya da şöyle yazalım; 𝑎 ∙ (𝑎 ∙ 2) ∙ (𝑎 ∙ 3) ∙ … ∙ (𝑎 ∙ (𝑝 − 1)) ≡ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … (𝑝 − 1) (𝑚𝑜𝑑𝑝) Bu gereksiz uzun denkliği düzenleyelim, çünkü şu an küçük teorem denemeyecek kadar uzun;
İki tarafı da (p-1)! -e bölersek sonuç;
Aman tanrım yoksa bu o mu?! Fermat’ın Küçük Teoremi… - Peki Neden Küçük? Çünkü iyi tamam da ne işimize yarayacak bu? Üstelik malum “son teorem” varken bu da ne ki? Çok güvenilir olmayan kaynaklara göre, bunlar forum siteleri oluyor, Fermat’ın bu teoreminin ne işe yarayacağını anlayamayan isim babaları “küçük” diyelim gitsin diyerek teoremi küçümsemişler, ancak bugün gelinen noktada özellikle şifrelemede kendisini epey kullanıyoruz, aslında hiç de “küçük” değil yani. Örneğin whatsapp’ta yakın bir arkadaşınızın dedikodusunu yaparken bu kadar rahat olmanızın sebeplerinden birisi bu teorem. Dedikodu yapmak için kesin haklı sebepleriniz vardır da bu teorem sizi bu kadar koruyorken ona “küçük” demek ayıptır. Tüm birikiminizi tuttuğunuz banka hesabını da bu teorem sayesinde 4 basamaklı bir sayı ile koruyabiliyorsunuz. Tabi sen yine o sayıyı doğum tarihim yapamıyorum diye şikayet ediyorsun, üstüne bir de teoreme “küçük” diyorsun. Sensin küçük. Teoremin uygulama alanları tamamen ayrı bir yazı konusu, hatta fanzin konusu, hatta kitap bile yazarız. - Carmichael sayıları Tüm asal sayılar için bu denklik doğru, şüphemiz yok. Teoremdeki p sayısı asal ise Fermat’ın Küçük Teoremi sağlanır. Peki, Fermat’ın Küçük Teoremini sağlayan her p sayısı asal mıdır? Robert Carmichael amcamız da tam olarak bunu düşünüp acaba demiş. Eğer denkliği sağlayan tüm sayıların asal sayı olduğunu ispatlarsak teoremin muazzam bir faydası daha ortaya çıkacak, bir sayının asal olup olmadığını anlamak istediğimizde koyacağız sayıyı denklikteki yerine, denklik sağlanırsa sayı asaldır diyeceğiz. Ancak maalesef Robert bey denkliği sağlayan asal olmayan sayılar da bulmuş, eminiz o da çok üzülmüştür bulduğunda. Daha sonradan bu sayılarla ilk defa uğraşan kişinin anısına bu sayılara Carmichael sayıları denmiş. Carmichael sayıları; 561, 1105, 1729, 2465 diye başlayıp gidiyor, çok da yok yani, nadir görülen bir şey ama bizi üzüyor. Örneğin 561; 561=3∙11∙17 şeklinde yazılabilir, yani asal değildir, ancaak :(
Ek olarak Carmichael sayıları sonsuzdur, bunun da ispatı yapıldı. İspat, “There Are İnfinitely Many Carmichael Numbers” isimli makalede Carmichael’dan çok sonra yapılmış, Google amcaya makalenin adını yazarak ulaşabilirsiniz, kendisi 20 sayfa, yani onu da yazardık ama bu fanzine sığmayacak kadar uzun :p