Evet, kaç olduğunu bilirsin sen. Biraz sonra öyle bir sayının varlığını ispatlayacağım ki, bu sayı matematik dünyasını tek başına bunalıma sokmuş, adını söyleyeni denize attırmış, uzun süre kendisinden bahsedilmesini yasaklatmış, kısaca ortalığı bayağı karıştırmış bir sayı.
√2 Evet bir zamanlar √2 ‘den bahsedilmesi yasaklanmış, işin en ilginç yanı bu yasağı koyan kişi: Pisagor. Çocukluğumuzdan beri teoremiyle büyüyoruz, matematik okulu, sayılara olan ilgisi hep bizi kendisine çekti, kendisini sevdirdi. Hikâyeyi bilmeyenler için Pisagor hala çok sevimli bir adam, kimilerinin en sevdiği bilim insanı. Peki ne yaptı bu Pisagor, neden tü kaka muamelesi gösteriyoruz ki durduk yere?
Pisagor son derece rasyonalist bir adamdı, yani onun için her şey aklımızın aldığı kadarıyla vardı, öyle sonsuzlukmuş falan geçinizdi. “Akıl ölümsüzdür, geri kalan her şey ölümlüdür.” sözü de ondan çıkmıştı. Sayılara tapıyordu, matematiğin doğanın bir yansıması olduğunu düşünüyordu, onun için her şey gibi matematik de tamamen akla uygun olmalıydı. Bu sebeple tüm sayıların herhangi iki tam sayının oranı şeklinde yazılabileceğini düşünüyordu. Bir zamanlar bu kadar temiz yürekli bir insandı işte, şimdi ayağa kalksa; limit, türev, sonsuz toplam, kompleks sayılar desek kalpten kalktığı yere dönerdi. Kendisine ait okulda da bunu bir kural olarak koymuştu. Bu sayılara şimdi “rasyonel sayılar” diyoruz, o zamanlar tüm sayıların şimdiki deyimiyle rasyonel sayı olduğu düşünülüyordu. Bu durum bana kalırsa çok trajikomik bir şekilde son buldu. Şu ünlü Pisagor teoremi, dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı diğer kenarın karesinin toplamını vermesi teoremi hani, ilk defa rasyonel olmayan sayıların varlığından da söz edilebileceğini gösterdi. Pisagor bu teoremle bildiğin kendi ayağına sıktı yani. Rivayete göre Pisagor bu teoremi ortaya atıp ispatladıktan sonra öğrencilerinden Hippasus dik kenarları 1 birim olan bir üçgenin hipotenüsünün rasyonel bir sayı olmadığını söyler. Tabi Pisagor’a böyle şey denir mi, ne demek rasyonel olmayan bir sayı, atın bu hadsizi denizlere dedi ve Hippasus’u denizin dibine yolladı.
Daha sonra ne kadar düşünürse düşünsün bu üçgenin hipotenüsünü, yani karesi 2 olan sayıyı, bir türlü iki tam sayının oranı şeklinde yazamadı. Pisagor işi gücü bıraktı ve bu sayıyla ilgilenmeye başladı, tabi yerin kulağı var, şehir çoktan rasyonel olmayan sayıların varlığını konuşmaya başlamıştı. Pisagor kibrinden mi yoksa hayatını adadığı sayıların √2 karşısındaki çaresizliğinin verdiği sinirden mi bilinmez, tüm hıncını √2’den çıkarmıştı. Tüm şehirde √2'den ve rasyonel olmayan sayılardan bahsedilmesini yasaklamış, böyle sayıların varlığından bahsedenlerin kellesini vurdurmuştu. Gerçeklerin bir gün ortaya çıkmak gibi kötü bir huyu vardır denir ya; konu matematikse, bu sözün yalan olma ihtimali de sıfırdır. √2 ve aslında rasyonel olmayan sayıların en önemli çıkışı işte bu hikayede olduğu gibi Pisagor teoremiyle olmuş. Bu sayılardan bahsedilmesi, bu sayıların varlığının ortaya çıkışında en büyük pay sahibi Pisagor tarafından yasaklanmış. İlk bahseden denize atılmış daha sonra bahsedenler işkence görmüş, belki ispatını yapan birkaç kişi daha idam edilmiş bilinmez. Pisagor’a rağmen bu sayılarla ilgilenen, belki daha önce ispatlamasına rağmen susturulan herkes için, rasyonel olmayan sayıların varlığını bir kez de birlikte ispatlayacağız. Aman Pisagor duymasın.
Rasyonel sayıların günümüz tanımı aralarında asal iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılar. Biz √𝟐 ′nin rasyonel olmayan sayı olduğunu ispatlamak istiyoruz.
√𝟐, yani karesi 2 olan sayı. Pisagor teoreminden böyle bir sayının varlığını biliyoruz, eğer rasyonel olmayan sayı yoksa o halde √𝟐 de rasyonel olmalı. √𝟐 rasyonelse aralarında asal iki tamsayının oranı şeklinde de yazılabilmeli. Bakalım yazılabiliyor mu:
a ve b’nin aralarında asal olduğunu kabul edelim. Yani a ve b birbirine bölünemesin. Eğer √𝟐 rasyonelse;
√𝟐 = a/b (a,b aralarında asal)
şeklinde yazılabilmeli.
√𝟐 için karesi 2 olan sayı demiştik. İki tarafın da karesini alarak ifadeyi basitleştirelim.
𝟐 = a²/b²
𝐛²’yi de öbür tarafa atalım güzel görünsün.
2b²=a²
b’nin tamsayı olduğunu biliyorum, dolayısıyla 𝐛² de tam sayı. O halde m tamsayı olacak şekilde 𝐛² yerine m yazabilirim. Yani;
2m=a²
oldu. Bunun ne demek olduğunu bence hepimiz biliyoruz :)
a² bir çift sayı.
a tek sayı olsaydı 𝐚² de tek sayı olurdu, dolayısıyla 𝐚² çift ise a da çift olmalıdır. Bunu görmüştük bence, yine de yazdık.
Şimdi a’nın bir çift sayı olduğunu biliyoruz. O zaman a yerine 𝟐*t yazabilirim.
a = 𝟐*𝒕 diyelim ve yolumuza devam edelim.
İlk denklemde a yerine 𝟐*t yazıyorum:
𝟐*𝐛² = (𝟐*𝐭)²
𝟐*𝐛² = 𝟒*𝐭² oldu.
Daha da basitleştirelim.
𝐛² = 𝟐*𝐭²
t bir tamsayı olduğuna göre, n tamsayı olacak şekilde 𝐭² yerine n yazabilirim.
𝐛² = 𝟐*𝐧
oldu. Buradan b’nin de çift sayı olduğunu a’nın çift sayı olduğunu gördüğümüz gibi görebiliriz bence. Yaaniii:
b = 𝟐*𝒌
Şimdi a’nın bir çift sayı olduğunu görmüştük, artık b’nin de bir çift sayı olduğunu biliyoruz. Demek ki a ve b birbirine bölünebilir. Yani aralarında asal değil. İspatın en başında a ile b aralarında asal olsun demiştik ve işlemlerimizi ona göre yaptık fakat en başta yazdığımız denkleme göre a ve b’nin çift sayı çıkması aralarında asal olmasıyla çelişti ve böyle bir denklem yazılamayacağını gördük. Demek ki √𝟐 aralarında asal iki sayının oranı şeklinde yazılamaz, demek ki √𝟐 rasyonel bir sayı değil, demek ki rasyonel olmayan sayılar da var. Rahat uyu Hippasus…