Onur Ünlü'nün Polis filminde Haluk Bilginer Musa Rami adında tecrübeli bir polisi canlandırır. Normalde sinema filmlerinde karakterlerden bahsederken karakterlerin isimleriyle bahsedilir fakat burada filmden bahsetmemdeki amaç sadece bu konuyu anlamaya çalışan arkadaşların ilgisini çekmek olduğu için filmdeki karakterlerin değil oyuncuların ismini kullanacağım. Filmin başında Haluk Bilginer bir mafya üyesini bulup tutuklamak ister, Haluk Bilginer'e direnmek isteyen mafya üyesi silahına davranamadan Haluk Bilginer onlarca kurşunu mafya üyesinin üstüne boşaltarak onu öldürür. Günler sonra bir üniversite öğrencisi olan Funda, (Özgü Namal) üniversite tezi için Haluk Bilginer ile röportaj yapmaya gelir, kısa bir ön sohbetten sonra Özgü Namal konuya girer: Ö.N.: Şu üzerinde 14 kurşun bulunan ceset… H.B.: 14 mü, ben 18 saymıştım. Ö.N: Çok yakın mesafeden ateş etmişsiniz, aslında iki kurşun sıksanız da yeterli olurmuş. H.B.: 14 kurşun sıktım evet, çünkü kesin konuşmam gerekiyordu, hayatta bazen kesin konuşmak gerekir Funda, öldürmek de kesin konuşmaktır, fakat bir insanı tabancayla öldürmek teorik olarak mümkün değildir. Evet burada konuya giriyoruz ! Haluk Bilginer devam eder: - Bak şimdi, herhangi bir şeyi ikiye bölerek sıfıra ulaşamazsın (önündeki keki sürekli ikiye kesiyor). Her defasında daha küçük bir parçaya ulaşırsın ama bunlar asla bitmez. Bu, hareket eden nesneler için de geçerli, şimdi bir düşün, tabancanın namlusundan çıkan bir kurşun hedefe doğru nazlı nazlı ilerlerken katettiği mesafeyi daima ikiye böler, e bir şeyi ikiye bölerek sıfıra ulaşılamayacağına göre, bu kurşunun hedefi bulması teorik olarak mümkün değildir. Anladın mı? İşte bu seni paniğe sevk eder, daha çok sıkarsın. Şimdi bu sahnenin senaristi bunları kendi mi düşündü, bunu neden anlattım, bunun limit konusunda ne işi var, babam böyle pasta yapmayı nereden öğrendi ? Sırayla gidelim. Hayır, bu sahnenin senaristi bu paradoksu kendi düşünmedi, yaklaşık 2500 yıl önce zenon ortaya üç paradoks attı, şöyle ki; Yaydan hedefe doğru atılan bir ok düşünün, bu okun hedefe ulaşması için önce hedefe kadar olan yolun yarısını gitmeli, yolun yarısına geldiğinde kalan yolu bitirebilmesi için yine kalan yolun yarısını gitmesi gerekir, okun hedefe ulaşabilmesi için her seferinde kalan yolun yarısını gitmesi gerekecektir. Haluk Bilginer'in söylediği gibi bir şeyi ikiye bölerek sıfıra ulaşmak mümkün değildir. Zenon'un oku da Haluk Bilginer'in kurşunu gibi bu mantıkla hiçbir zaman sıfıra, yani hedefe ulaşamaz. Şimdi bu işlemi bir de geri saralım, okun hedefe ulaşması için önce yolun yarısını gitmesi gerekir demiştik, peki yolun yarısına kadar gidebilmesi için de önce yarısına kadar olan yolun yarısının yarısını gitmesi gerekmez mi ? yine yolun 4’te 1’ine ulaşabilmesi için önce 8’de 1’ine ulaşabilmesi gerekecektir. Bu şekilde sonsuza kadar devam etsek bile bu yolu ikiye bölerek hiç bir zaman başlangıç noktasına ulaşmamız mümkün olmayacağı için bu mantıkla bu okun bir başlangıç noktası yoktur diyebiliriz. Biliyoruz ki hareket eden her şeyin bir başlangıç noktası vardır. Başlangıç noktası olmayan bir şey hareket etmiş sayılamaz. Öyleyse hareket diye bir şey yoktur! Üçüncü paradoks Aşil ve kaplumbağa paradoksu, dileyen internette minicik bir araştırmayla bunu da öğrenebilir, google amcaya Zenon'un paradoksları yazmanız yeterli. Şimdi Haluk Bilginer'e defalarca kurşun sıktıran bu paradoksu ortaya atan Zenon ne demek istiyor? Yukarıda anlattığım tamamen matematiksel bir mantık, tabii ki de ok hedefe ulaşıyor, paradoksun çözümü çok daha zevkli, Ali Nesin Matematik Dünyası dergisinde anlatıyor, dileyen oradan bakabilir, bu yazının konusu limit kavramı olduğundan hızlıca oraya geçmek istiyorum. Zenon yukarıdaki paradoksla matematiksel olarak hareket eden bir nesnenin başlangıç ve bitiş noktası olamayacağı için hareket diye bir şey yoktur diyor, hareket tamamen ilizyondur diyor. Yok eğer ilizyon değilse -ki ona göre değil- matematik diye bir şey yoktur, matematik gerçekle örtüşmez, saçma sapan şeyler uydurup bunları çarpıp bölüp gençleri bilimden soğutmayın bırakın bu işleri diyor. Limitin ilk ortaya çıkışı hakkında birçok fikir vardır, kimi Arşimet der kimi Eudoxus kimi Newton. Evet, hiçbir tahmin Zenon'un yaşadığı zamana kadar uzanmaz fakat ben Zenon bu paradoksları ortaya attığında o zamanlar yaşayan bir matematikçinin, matematik saçma diyen Zenon'a limiti biraz da olsa tanımlayarak haddini bildirdiğini umuyorum ve inanıyorum. Evet şimdi gelelim asıl konumuz limite, -aslında zaten geldiğimizin farkına varmayanlar ayıp ediyor- klasik tanımlamalarda bir şey bir şeye yaklaşır, hiçbir zaman o olmaz ama ona çok yaklaşır, sanki o olmuş gibidir ama o olmaz şeklinde anlatılır. Efendim siz 16-17 yaşında ki ülkemiz ergenine bu tanımı yaparsanız çocuğun aklına sevip de kavuşamadığı kızı/erkeği getirirsiniz. "Sen benim limit değerimsin, sana yaklaşıyorum ama hiçbir zaman ulaşamıyorum, sanki yanındayım ama değilim, ühühüh" diye dolaştırırsınız çocuğu lise koridorlarında. Evet bir şey bir şeye yaklaşıyor, o olmuyor ama aslında oluyor da'nın ne olduğunu anladınız mı, yoksa zenon'u bir daha mı anlatayım ? Şu epsilonlu deltalı tanıma gelmeden önce matematikte komşuluğunda ne olduğuna bakalım biraz. Şimdi rastgele bir sayıyı sayı doğrusu üzerinde düşünün. (Lütfen 2’yi düşünün, ona göre devam edeceğim:). Kafanızdaki sayı doğrusunu 2'nin 0,5 birim sağına ve 0,5 birim soluna kadar renklendirin. 2yi değil, sadece 0,5 sağına ve 0,5 soluna kadar olan kısmı renklendiriyoruz. İşte bu renklendirdiğimiz kısma matematikte 2'nin 0,5 komşuluğu diyoruz. Şimdi kolay bir fonksiyon tanımlayalım. y=f(x)=2*x+1 olsun. x=3 iken y, x=7'yken y vs. vs. bilindik şeyler. Biz bu konuda bunu araştırmıyoruz, bunları çoktan geçtik. Araştırdığımız şey x=2 değil x, 2'ye doğru giderken (örn. 1,95 1,96 1,97...) y kaça doğru gidecek ? yani y'nin limiti kaç olacak ? Bunu yüzünüze karşı anlatıyor olsam sözümü keserek veya sessizce ‘5 işte abi dalga mı geçiyon’ diyecektiniz büyük ihtimal. İsterseniz yukarıya çıkın ve zenonu tekrar okuyun, orada y(mesafe)'nin sıfır olabilmesi için x(okun hareket sayısı)'in sonsuza gitmesi gerekiyor. Yani ok sonsuz kere hareket etmeli ki hedefi bulabilsin. Yani öyle fonksiyonda yerine yazayım ne çıkıyorsa oraya gidiyordur işte derseniz 2500 yıl önce yaşamış bir adam madara edebilir sizi. Şimdi şu y=2x+1 denkleminde x ile y'nin hareketlerini inceleyelim. x 1,9'dan 2'ye kadar olan noktalardayken y'nin 4,8 ile 5 arasındaki noktalarda olacağını söyleyebiliriz. Ayrıca x, 2,1'den 2'ye kadar olan noktalardayken de, y 5,2 ile 5 arasındaki noktalarda olacağını söyleyebiliriz. Şöyle ki;
Not; x=2 iken y=5 olduğunu henüz hiç söylemedim.
Bu bölümü kısaca şöyle özetleyebiliriz: "x, 2'nin 0,1 komşuluğundayken; y, 5'in 0,2 komşuluğunda olur."
Dediğim gibi, limit kavramı x=2 iken y’nin kaç olduğu ile ilgilenmez, x 2'ye yaklaşırken y kaça yaklaşırla ilgilenir. Üst paragrafta yaptığım şey, x 2'ye giderken lim(2*x+1)=? sorusunun ayrıntılı cevabıdır aslında. Yukarıda y'nin 5'e gittiğini ve cevabın 5 olduğunu kolaylıkla söyleyebiliriz.
Şimdi işin cebirsel kısmına giriyoruz, sıkı tutunun.
Epsilon işareti olarak ε kullanacağım. ε'yi küçük pozitif bir sayı olarak düşünüyoruz. Öyle küçük bir sayı ki karesini aldığımızda sıfır oluyor. Yalnız ε=0 değil, ancak o kadar küçük ki yani öyle böyle küçük değil çok küçük, 1/10000000…. gibi küçük, karesini aldığımız da çoook daha küçülüyor ve artık sıfır oluyor. Neyse epsilon konusu ayrı uzun, kısaca küçük bi sayı işte.
Örnek olarak göstereceğim fonksiyon yine aynı: f(x)=2*x+1 Yine x 2'ye yaklaşırken ki durumu inceliyoruz; 5'in bir komşuluğu ε olsun diyelim. Balık hafızalılar için açarak yazayım, 5'in sayı doğrusunda ε kadar sağında ve ε kadar solunda kalan bölgeyi düşünelim. 5'i değil, sadece sağını ve solunu.
Şimdi burada şunu yazabiliriz;
5-ε < f(x) < 5+ε .
Yani; |f(x)-5|<ε .
f(x)i açalım; |2x+1-5|<ε .
Yani |2x-4|<ε .
Yine yani 2|x-2|<ε
2’yi karşıya atarak eşitsizliği istediğimiz kıvama getiriyoruz.
|x-2| < ε/2
Yani; 2-(ε/2 ) < x < 2+(ε/2 )
Bundan sonra ε/2 'ye δ (delta) diyeceğim.
Görüleceği gibi x, 2'nin δ komşuluğunda iken f(x) her zaman 5'in ε komşuluğunda değerler alır.
Yani x, 2'ye yaklaştığında f'nin limiti 5'tir.
Şimdi limitin kitaplarda görüp bunu okuyan kör olur dediğiniz tanımını veriyorum.
Her ε>0 için, eğer 0<|x-a|<δ olduğunda |f(x)-L|<ε olacak şekilde bir δ>0 sayısı varsa x, a'ya yaklaştığında f'nin limiti L'dir denir ve 𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐚 𝐟(𝐱) = 𝐋 biçiminde gösterilir.
Yukarıdaki örnekte tanımdaki a sayısı 2, L'de 5'tir. Örneğin çözümünde 2 yerine a, 5 yerine L ve "yani" yerine "ancak ve ancak" işareti yazarak neredeyse cebirsel bir ifade ile ispat yapabilirsiniz.